เกล็ดเล็ก ๆ น้อย ๆ

ความน่าจะเป็น
      
   

 

1.  การทดลองเชิงสุ่ม
 การทดลองเชิงสุ่มเป็นการทดลอง
ที่ไม่สามารถทำนายผลการทดลอง
ได้อย่างถูกต้องแน่นอน 
เนื่องจากผลของการทดลองที่ได้
อาจเกิดขึ้นได้หลายอย่าง 

           

จะเรียกเซตซึ่งสมาชิกในเซตนั้นเป็นผลของการทดลองเชิงสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่า แซมเปิลสเปซ (Sample Space) เขียนแทนด้วย S  และเรียกสมาชิกของแซมเปิลสเปซว่า  แซมเปิลพอยท์(SamplePoint) 

        
                       ตัวอย่าง1.1

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก  เพื่อดูแต้มที่ขึ้น ผลของการทดลองหรือการทอดลูกเต๋าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ  1, 2, 3, 4, 5, 6  ดังนั้นแซมเปิลสเปซ คือ
              S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  
          ถ้าสนใจว่าแต้มที่ปรากฎเป็นแต้มคู่หรือแต้มคี่  แซมเปิลสเปซคือ   
              S2 = {คู่, คี่}   
              
 

               

 ตัวอย่าง 1. 2   

ในการตรวจคุณภาพของสินค้าที่ผลิตโดยเครื่องจักรของโรงงานแห่งหนึ่งหยิบสินค้ามา 3 ชิ้น  แล้วตรวจสภาพทีละชิ้นว่าชำรุดหรือไม่ 
 ให้ “ด” แทนดี  และ “ช” แทนชำรุด 
 แซมเปิลสเปซที่ให้รายละเอียดมากที่สุดคือ
 S1 = {ดดด,  ดดช,  ดชด,  ชดด,  ดชช,  ชดช,  ชชด,  ชชช}   
ถ้าสนใจจำนวนสินค้าที่ชำรุดจากสินค้าที่หยิบมา 3 ชิ้น  แซมเปิลสเปซคือ
              S2 = {0, 1, 2, 3}                

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
  ในการทดลองเชิงสุ่มมักจะสนใจการเกิดขึ้นของเหตุการณ์(Event) ต่าง ๆ มากกว่า  ซึ่งเป็นเซตย่อย (Subset) ของแซมเปิลสเปซ S 
  ถ้าในเหตุการณ์นั้นไม่มีแซมเปิลพอยท์เลย  เหตุการณ์นั้นเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ซึ่งเขียนแทนด้วยเชตว่าง (Æ)
   นอกจากนี้เหตุการณ์อาจจะประกอบด้วยแซมเปิลพอยท์ทั้งหมดก็ได้ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน
         

เนื่องจากเหตุการณ์แทนได้ด้วยเซต 

ดังนั้น  การดำเนินการระหว่างเซต (Operation on set)  ได้แก่ 
  ยูเนียน (Union)  อินเตอร์เซคชัน (Intersection)
  คอมพลีเมนท์ (Complement)   
                                        ********

ให้  E1  และ  E2  เป็นเหตุการณ์ใด ๆ จากการทดลองที่มีแซมเปิลสเปซ S

 หมายถึงเหตุการณ์
E1เกิดขึ้น หรือ E2เกิดขึ้น หรือ อาจกล่าวได้ว่าเป็นเหตุการณ์ ที่เกิดขึ้นอย่างน้อย1  เหตุการณ์ในบรรดา  E1 กับ  E2
    หมายถึง  เหตุการณ์ที่  E1 และ  E2  เกิดขึ้นทั้ง 2  เหตุการณ์
    หมายถึง เหตุการณ์ที่  E  ไม่เกิดขึ้น
                

2.  การคำนวณค่าความน่าจะเป็น 
 
นิยาม 1.  ถ้าการทดลองเชิงสุ่มมีผลการทดลอง
ต่าง ๆ กัน  N อย่าง  ผลการทดลองแต่ละอย่างมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน  ถ้าผลการทดลอง n อย่างแสดงถึงการเกิดเหตุการณ์ E ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E  เขียนแทนด้วย P(E)  และ               
                  ตัวอย่าง 2.1   

โยนเหรียญที่สมดุลย์ 1 อัน  2 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวอย่างน้อย 1ครั้ง
 วิธีทำ    ผลการทดลองที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง มี 4 อย่างคือ หัวและหัว  หัวและก้อย  ก้อยและหัว  ก้อยและก้อย  ตามลำดับครั้งที่โยน       ให้  E เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
ผลการทดลองที่แสดงว่าเกิดเหตุการณ์ E มี 3 อย่างคือ 
 หัวและหัว 
 หัวและก้อย 
 ก้อยและหัว
ในตัวอย่างนี้ถ้าเขียนแซมเปิลสเปซของการทดลอง  จะได้  S = {HH, HT, TH, TT}
ถ้า  H แทนหัว  และ T แทนก้อย  และเขียนเหตุการณ์ E  จะได้  E = {HH, HT, TH}  ดังนั้น
                       จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ของ E
                                      จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ของ S

                   

                        ตัวอย่าง 2.2 

             ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก  เป็น 7
 วิธีทำ    ให้ (x,y) แทนผลการทดลองที่ได้แต้ม x จากลูกแรก  และแต้ม y จากลูกที่สอง
 แซมเปิลสเปซคือ        
 S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
ให้  E เป็นเหตุการณ์ที่ได้ผลบวกของแต้มเป็น 7 
               E = {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}
       ดังนั้น    จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ขอE                จำนวนแ      แซมเปิลพ้อยท์ของ S
                                  
                                                  

ตัวอย่างที่ผ่านมา  แสดงการคำนวณความน่าจะเป็นจากการนับจำนวนแซมเปิลพ้อยต์ วิธีนี้เรียกว่า วิธีคลาสสิค (Classical Method)  
   ดังนั้น               จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ของE
                            จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ของS

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างจะต้องทำการทดลองจริง  วิธีนี้เรียกว่า วิธีการสังเกตจากการทดลอง (Empirical Method)
                                ♫  ♫
                                 ♪  ♪
   นิยาม2. ถ้าทำการทดลองซ้ำกัน Nครั้ง และ        
  สังเกตได้ว่าเหตุการณ์ E เกิดขึ้น  n  ครั้ง
ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ E  คือ   จะมีค่าเข้าใกล้ความน่าจะเป็นของ E  เมื่อ N มีค่าเพิ่มขึ้นนั่นคือ 
   และเราจะใช้ 
P(E) =    โดยประมาณเมื่อ N มีค่ามาก ๆ
  

          ตัวอย่าง 2.3    

ถ้าโยนเหรียญ 1 อัน 1,000 ครั้ง ปรากฏว่าได้หัว 498 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นของการได้หัวจากการโยนเหรียญอันนี้
 วิธีทำ            
                                          
  
       

        ตัวอย่าง 2.4   

ในบรรดาลูกค้า 100 คนที่เข้าร้านสรรพสินค้าแห่งหนึ่งในช่วงเวลา 17.00-18.00 น. มีลูกค้าที่ซื้อสินค้าตั้งแต่ 1,000 บาทขึ้นไป  อยู่ 55 คน  ถ้าสุ่มเลือกลูกค้ามา 1 คนจากผู้ที่อยู่ในร้านในช่วงเวลาดังกล่าว  จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้นั้นจะซื้อสินค้าไม่ถึง 1,000 บาท 
วิธีทำ     มีลูกค้าที่ซื้อสินค้าไม่ถึง  1,000  บาทอยู่  45  คน
\  P(ลูกค้าซื้อสินค้าไม่ถึง 1,000 บาท) =   = 0.45    โดยประมาณ               
                      
                            ตัวอย่าง 2.5

จากการสุ่มเลือกผู้ที่จบปริญญาทางสถิติมา1,000คนจำแนกผู้ที่จบตามประเภทของงานและผู้ที่จบระดับปริญญา  ได้ผลเป็นดังนี้
           
     งาน               ปริญญา รวม
     ตรี โท เอก 
รัฐบาล
เอกชน
รัฐวิสาหกิจ    180
   340
   130 100
150
60 20
10
10 300
500
200
     รวม    650 310 40 1000
                                                             

          
ถ้าสุ่มเลือกผู้ที่จบปริญญาทางสถิติมา 1 คน ใช้ข้อมูลจากตารางนี้ประมาณค่าความน่าจะเป็น ดังนี้     
        
ก.  P(ผู้ที่ทำงานเอกชน)  
           ข.  P(ผู้ที่จบปริญญาตรีและทำงานเอกชน)                                             
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ จะมีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1

 

   

3.  การนับจำนวนแซมเปิลพ้อยท์
ทฤษฎีที่ 1  ถ้าการดำเนินการอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน  ขั้นตอนที่ 1 ทำได้ n1 วิธี  ขั้นตอนที่สองทำได้ n2 วิธี  ขั้นตอนที่สามทำได้ n3 วิธี …  เช่นนี้เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนที่  k  ซึ่งทำได้ nk วิธี  การดำเนินการนี้จะทำได้  n1 n2 . . . nk  วิธี 
   
          ตัวอย่าง 3.1    

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่แต้มลูกเต๋าจะขึ้น
วิธีทำ     การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครั้ง เป็นการดำเนินการที่มี 2 ขั้นตอนในการทอดแต่ละครั้ง
ได้แต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6   ดังนั้นแต่ละขั้นตอนทำได้ 6 วิธี
\ จำนวนวิธีที่แต้มลูกเต๋าจะขึ้น  = 6 ´ 6 = 36  วิธี   

            
       ตัวอย่าง 3.2     

ในการโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่เหรียญจะขึ้น
 วิธีทำ     การโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้งเป็นการดำเนินการที่มี 3 ขั้นตอน แต่ละขั้นตอนอาจได้หัว
หรือก้อย  ซึ่งทำได้ 2 วิธี
 จำนวนวิธีที่เหรียญจะขึ้น  = 2 ´ 2 ´ 2 = 8  วิธี              
           
      ตัวอย่าง 3.3    

ในการสอบแบบปรนัย  แต่ละข้อมีคำตอบให้เลือก 4 คำตอบ  โดยมีคำตอบที่ถูกเพียง 1 คำตอบ  ถ้านักเรียนผู้หนึ่งตอบโดยการเดาทุกข้อ  และมีข้อสอบทั้งหมด 10 ข้อ  จะมีคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่แบบ
 วิธีทำ   การสอบครั้งนี้เป็นการดำเนินการที่มี 10 ขั้นตอน แต่ละขั้นตอนทำได้ 4 วิธี ดังนั้นจะมี
คำตอบที่เป็นไปได้  = 410  แบบ                 

นิยาม 3. การจัดลำดับ คือการจัดของทั้งหมดที่มีอยู่หรือจัดของแต่ละส่วนโดยคำนึงถึงลำดับ  เช่น  ในการจัดลำดับอักษร  a, b และ c  ทั้ง 3 ตัว  จะจัดได้ 6 วิธี  คือ  abc, acb, bac, bca, cab, cba  แต่ถ้านำมาจัดเพียง  2  ตัว  จะจัดได้  6  วิธี  คือ   ab, ba, ac, ca, bc, cb
     

     ทฤษฎีที่ 2.  
ถ้ามีของnสิ่ง แตกต่างกันจะ       
จัดครั้งละ r สิ่ง  (r £ n) จะ 
ทำได้      วิธี
เมื่อ r < n
        วิธี

  
                    ตัวอย่าง 3.4     

จะมีวิธีแนะนำนักบาสเกตบอล 5 คนของทีมต่อผู้ชมได้กี่วิธี
 วิธีทำ      คนที่อาจได้รับการแนะนำเป็นคนแรกมีได้ 5 คน  คนที่สองอาจมีได้ 4 คน  คนที่สามอาจมีได้ 3 คนเช่นนี้เรื่อยไปจนครบทุกคน
       จำนวนวิธีที่จะเป็นไปได้  = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 =  120  วิธี
                       หรือ      =   120  วิธี     
                         
    ตัวอย่าง 3.5    
ในการประชุมสมาชิกของสมาคม
แห่งหนึ่ง เพื่อเลือกตั้งกรรมการตำแหน่งนายกสมาคม  และรองนายกสมาคม  มีผู้เสนอชื่อสมาชิก 7 คน  โดยครั้งแรกจะเลือกนายก  และครั้งที่สองจะเลือกรองนายกสมาคม   ถามว่าจะมีกรรมการต่าง ๆ กันได้กี่ชุด
วิธีทำ   การเลือกตั้งกรรมการชุดนี้เป็นการจัดคน 2คน
จาก 7 คน  โดยคนแรกให้เป็นนายกคนที่สองให้เป็นรองนายกสมาคม  ดังนั้น
 มีจำนวนกรรมการที่เป็นไปได้   =    ชุด                                                       
       ในบางครั้งเราสนใจการจัดโดยไม่คำนึงถึงลำดับเป็นสำคัญ  หรือสนใจการเลือกของจากที่มีอยู่ทั้งหมด โดยไม่สนใจว่าจะเลือกของสิ่งใดมาเป็นลำดับแรก สิ่งใดเป็นลำดับที่สองการกระทำแบบนี้เรียกว่า การจัดหมู่ (Combination) 
     
นิยาม 4.  การจัดหมู่  คือการจัดของทั้งหมดที่มีอยู่
หรือจัดบางส่วน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ
เช่น  มีอักษร 3 ตัว  a,  b,  c นำมาจัดหมู่ ๆ ละ 2 ตัว 
จะจัดได้ 3 วิธีคือ  a กับ b,  a กับ c,  b กับ c

ทฤษฎีที่ 3.    
ถ้ามีของ n สิ่งแตกต่างกัน
เลือกหรือจัดโดยไม่
คำนึงถึงลำดับครั้งละ r สิ่ง(r £ n)  จะทำได้         หรือ     วิธี
  =    วิธี
 
 

    ตัวอย่าง 3.6   

ในการประชุมวิชาการครั้งหนึ่ง  มีผู้เข้าประชุม 15 คน  ถ้าจะเลือก 3 คนมาเป็นตัวแทนจะทำได้กี่วิธี
     วิธีทำ      เลือก 3 คนจาก 15 คนทำได้  =    วิธี 
                                                
    
ตัวอย่าง 3.7  

จากตัวอย่างที่ 2.3  ถ้าผู้เข้าร่วมประชุมประกอบด้วยผู้ชาย 10 คนและผู้หญิง 5 คนต้องการเลือกตัวแทน 3 คน  โดยให้เป็นชาย 2 คน หญิง 1 คน  จะทำได้กี่วิธี
     วิธีทำ      เลือกผู้ชาย 2 คนได้  =    วิธี                                        
                             เลือกผู้หญิง 1 คนได้  =    วิธี                                     
  ดังนั้น    เลือกชาย 2 คนและหญิง 1 คนได้  = 45´5 = 225   วิธี             

ทฤษฎีที่ 4.    ถ้ามีของ n สิ่งซึ่งแบ่งเป็น k ชนิด  ชนิดที่หนึ่งมี n1 สิ่ง  ชนิดที่สองมี n2 สิ่ง… และชนิดที่ k มี nk สิ่ง  โดยที่     จำนวนวิธีที่จะจัดของทั้งหมดนี้จะเท่ากับ                              
  

     ตัวอย่าง 3.8     

จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดคำต่าง ๆ กัน จากอักษรในคำว่า PROPORTION    
วิธีทำ จำนวนวิธีจัดที่แตกต่างกัน  =    วิธี                                          
  
      ตัวอย่าง 3.9   
จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหลอดไฟสีแดง 3 หลอด  สีเหลือง 4 หลอด  และสีน้ำเงิน 2 หลอดเพื่อประดับรั้ว  ถ้าสายไฟมีขั้วสำหรับใส่หลอดอยู่ 9 อัน
  วิธีทำ     จำนวนวิธีจัดที่แตกต่างกัน  =    วิธี          
                                    
    ตัวอย่าง  3.10    

มีตัวอักษรอยู่ 4 ตัวเป็น N 2 ตัว O 2 ตัว นำมาเรียงกันโดยวิธีสุ่ม  จงหาความน่าจะเป็นที่เรียงแล้วอ่านได้เป็น  NOON
 วิธีทำ      จำนวนวิธีทั้งหมดที่เรียงลำดับได้  =    วิธี                                      
              จำนวนวิธีที่เรียงลำดับแล้วอ่านได้เป็น NOON  = 1  วิธี
ดังนั้น     P(เรียงแล้วอ่านได้เป็นNOON)=                                                          
      ตัวอย่าง 3.11     

จงหาความน่าจะเป็นที่คน 3 คนจะมีวันเกิด ไม่ตรงกัน
              วิธีทำ     มีคน 3 คนแต่ละคนอาจเกิดในวันใดวันหนึ่งใน 365 วันก็ได้  ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดที่คน 3 คน  จะเลือกเกิดได้  = 3653  วิธี
       จำนวนวิธีที่คนทั้ง 3 คนเกิดไม่ตรงกัน  =    วิธี
           P(คนทั้ง 3 คนมีวันเกิดไม่ตรงกัน) 
=   
 
ตัวอย่าง 3.12     

ในการหยิบไพ่ 2 ใบ  จากสำรับซึ่งมีไพ่ 52 ใบ   จงหาความน่าจะเป็นที่               
  ก.  ได้ไพ่หน้าเดียวกัน 
                ข.  ได้ไพ่เบอร์เดียวกัน                                               
วิธีทำ   จำนวนวิธีที่หยิบไพ่ 2 ใบจาก 52 ใบ  =     วิธี
ก. เลือกหน้าที่จะขึ้นได้  วิธีแล้วจึงเลือกไพ่เบอร์ต่าง ๆ จากหน้าที่เลือกไว้แล้วมา 2 ใบได้    วิธี                                                        
     ดังนั้น  จำนวนวิธีที่หยิบไพ่ได้หน้าเดียวกัน   วิธี                               
        P(ไพ่หน้าเดียวกัน)  
    =                                                                               

ข. เลือกเบอร์ที่จะขึ้นได้   วิธีแล้วจึงเลือกไพ่หน้าต่าง ๆ จากเบอร์ที่เลือกไว้แล้วมา 2 ใบได้   วิธี                          
    ดังนั้น   จำนวนวิธีที่หยิบไพ่ได้เบอร์เดียวกัน  = วิธี
      P(ไพ่เบอร์เดียวกัน)                                                    
   

 

4.  กฎของความน่าจะเป็น 
กฎที่ 1        ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 1 เหตุการณ์ใน 2 เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นคือ
P( E1ÈE2 ) = P( E1) + P( E2) – P( E1ÇE2)

   ข้อสังเกต   ถ้า E1 และ E2  เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
               P(E1ÈE2) = P(E1) + P(E2)
          เนื่องจาก E1 และ E2 ไม่เกิดร่วมกัน  ฉะนั้น E1ÇE2 = Æ    และ  P(E1ÇE2) = 0
      
กฎที่ 2     ถ้า   เป็นคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์แล้ว
               
           เนื่องจาก    = S  และ    = Æ
                P( ) = P(S)
               
            ดังนั้น   

     ตัวอย่าง4.1

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งจะสอบคณิตศาสตร์ผ่าน
เท่ากับ และความน่าจะเป็นที่เขาสอบภาษาอังกฤษผ่านเท่ากับ ถ้าความน่าจะเป็นที่เขาสอบผ่านทั้ง2วิชาเท่ากับ จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งจะ                             
               ก.  สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา
              ข.  สอบไม่ผ่านทั้ง 2 วิชา
 วิธีทำ        ให้  M  เป็นเหตุการณ์ที่สอบคณิตศาสตร์ผ่าน
                                      E  เป็นเหตุการณ์ที่สอบภาษาอังกฤษผ่าน
                              \ P(M) =   ,  P(E) =   ,  P(MÇE) =                
       
ก.  P(สอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชา)  = P(MÈE)
                                                                           = P(M) + P(E) – P(MÇE)
                                                                           =   +   –          
       =   =  0.91                    
       
ข.  P(สอบไม่ผ่านทั้ง 2 วิชา)        
                                        
                                                                                                                                                                                               
       ตัวอย่าง  4.2    

ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นที่
  ก.  ผลบวกของแต้มเป็น 7 หรือ 11
ข.  ผลบวกของแต้มไม่น้อยกว่า  3
 วิธีทำ   
ก.     ให้   E1  เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มเป็น 7
                           E2  เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มเป็น 11
                            จำนวนแซมเปิลพ้อยท์ในแซมเปิลสเปซ  = 36
                                   E1 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
                                   E2 = {(5,6), (6,5)}
                P(E1) ,  P(E2) 
      
        เนื่องจาก E1 และ E2  เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
    P(E1ÈE2)  =  P(E1) + P(E2)
                                                            =   + 

                                  =    =  0.222              

ข. ให้  E3  เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มไม่น้อยกว่า  3
          เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มน้อยกว่า  3 
          =  {( 1,1 )} P ( )  =  
  \   =  0.972   
          

5. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข            
      
ให้  A และ B  เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ เขียนแทนด้วย P(B|A)             ซึ่งหาจาก   P(B|A) =   จำนวนแซมเปิลพ้อยต์ของ AÇB     
                                                    จำนวนแซมเปิลพ้อยต์ของ A
แต่ถ้าจะหา  P(B|A) จากแซมเปิลสเปซเดิม  ทำได้โดยใช้นิยามต่อไปนี้         
     

นิยาม 4.      ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้วคือ
          P(B|A) =     , P(A) ¹  0                
 
 

ตัวอย่าง 5.1

ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีผู้มีอายุตั้งแต่ 20 ถึง 60 ปีอยู่ 500 คน  เมื่อแบ่งตามเพศและสภาพการมีงานทำแล้ว  ได้ตัวเลขดังนี้            

 การมีงานทำ 
       เพศ มีทำ ไม่มี รวม
       ชาย
       หญิง 230
70 10
190 240
260
       รวม 300 200 500
       
ถ้าเลือกคนในหมู่บ้านมา 1 คนเพื่อเป็นตัวแทนของหมู่บ้านโดยกำหนดว่าจะต้องเป็นผู้มีงานทำ 
จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ได้รับเลือกเป็นผู้ชาย
  วิธีทำ   ให้     A    เป็นเหตุการณ์ที่ผู้ได้รับเลือกเป็นผู้มีงานทำ
                                 B    เป็นเหตุการณ์ที่ผู้ได้รับเลือกเป็นชาย
      เป็นเหตุการณ์ที่ผู้ได้รับเลือกเป็นชายที่มีงานทำ
  
          จาก  P(B|A) =     
  
   P(A) =    ;  P(AÇB) =    

   ดังนั้น P(B|A) =    =  0.767   
           ตัวอย่าง  5.2    
                                        ครอบครัวหนึ่งมีบุตร  2  คน  ถ้าโอกาสที่
บุตรแต่ละคนเป็นชายเท่ากับโอกาสที่บุตรแต่ละคนเป็นหญิง  จงหาความน่าจะเป็นที่บุตรทั้งสองจะเป็นชายถ้าทราบว่าครอบครัวนั้นมีบุตรชายอย่างน้อย 1 คน
วิธีทำ   ให้   A    เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวนั้นมีบุตรชายอย่างน้อย  1  คน
        B    เป็นเหตุการณ์ที่บุตรเป็นชายทั้งสองคน
               เป็นเหตุการณ์ที่บุตรเป็นชายทั้งสองคน
        S     =  {( ช,ช ),  (ช,ญ ,  (ญ,ช),  (ญ,ญ)}
        A     =  {( ช,ช ),  (ช,ญ),  (ญ,ช)}
        B     =  {(ช,ช)}
                 =  {(ช,ช)}

  

  P(B|A)  = 

   =    =  0.333               

        ตัวอย่าง  5.3     

กล่องใบหนึ่งมีปากกา  5  ด้ามเป็นสีน้ำเงิน  3  ด้าม  สีแดง  2  ด้าม  ถ้าหยิบปากกาอย่างสุ่มครั้งละ  1  ด้าม  เมื่อได้ปากกาด้ามแรกแล้วไม่ใส่กลับคืน  หยิบปากกาด้ามที่สองจากที่เหลือ  จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาทั้ง  2  ด้ามเป็นสีน้ำเงิน
 วิธีทำ ให้   A  เป็นเหตุการณ์ที่ปากกาด้ามแรกเป็นสีน้ำเงิน
          B  เป็นเหตุการณ์ที่ปากกาด้ามที่สองเป็นสีน้ำเงิน

      P(ปากกาทั้ง  2  ด้ามเป็นสี้น้ำเงิน)  =  P( )
          =  P(A)P(B|A)
              

ถ้ามีเหตุการณ์มากกว่า  2  เหตุการณ์คือ  A1, A2, A3, … อาจจะเขียนผลคูณของความน่าจะเป็นได้ดังนี้
 
        P(A1ÇA2ÇA3…) =  P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1ÇA2) …

 
  

      ตัวอย่าง  5.4    

จากตัวอย่างที่  2.26  จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ปากกาสีน้ำเงิน  แดง  น้ำเงินและแดงตามลำดับที่สุ่มมา  4  ด้าม 
วิธีทำ
      P(น้ำเงิน , แดง , น้ำเงิน , แดง) = P(ด้ามที่ 1  สีน้ำเงิน)  P(ด้ามที่ 2  สีแดง | ด้ามที่ 1  สีน้ำเงิน)
 P(ด้ามที่ 3 สีน้ำเงิน | ด้ามที่ 1 สีน้ำเงิน , ด้ามที่ 2  สีแดง)
 P(ด้ามที่ 4 สีแดง | ด้ามที่ 1 สีน้ำเงิน, ด้ามที่ 2 สีแดง, ด้ามที่ 3 สีน้ำเงิน)
          =     
          =                   
 

6. เหตุการณ์อิสระ
นิยาม  5
เหตุการณ์  A  และ  B  เรียกว่าเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ  P(A|B) = P(A)  และ  P(B|A) = P(B)
   กล่าวคือ   P(AÇB)  =  P(A)P(B)

       ตัวอย่าง 6.1     

ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูกและเหรียญ 1 อัน  เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 6 กับเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ 
วิธีทำ 
แซมเปิลสเปซคือ  S  =  {(1,H), (2,H), …, (6,H), (1,T), (2,T), …, (6,T)}
  ให้  A  เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม  6
         B  เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว
   A   =  {(6,H), (6,T)}
   B   =  {(1,H), (2,H), …, (6,H)}
          AÇB   =  {(6,H)}
            P(A)  =  
  ดังนั้น     P(AÇB)  =  P(A)P(B) 
  นั่นคือ     A และ B  เป็นอิสระกัน  
             
       ตัวอย่าง  6.2 

หยิบลูกแก้ว 3 ลูกจากกล่องซึ่งมีลูกแก้วสีแดง 5 ลูกและสีเขียว 3 ลูก  โดยหยิบทีละลูกแล้วใส่กลับที่เดิมก่อนจะหยิบลูกต่อไป  จงหาความน่าจะเป็นที่
ก.  ลูกแก้วทั้งหมดเป็นสีเดียวกัน
    ข.  ลูกแก้วที่หยิบมามีทั้ง  2  สี
วิธีทำ 
ก.  P(สีเดียวกัน)  =  P(แดง , แดง , แดง) + P(เขียว , เขียว , เขียว)
   =    
 
ข.   P(มีทั้ง 2 สี)    =  1 –             
ทฤษฎีที่  5  ถ้า  A  และ  B  เป็นอิสระต่อกัน  จะได้ว่า 
1.  Aข  และ  B  เป็นอิสระต่อกัน
              2.  A    และ  Bข  เป็นอิสระต่อกัน
              3.  Aข   และ  Bข  เป็นอิสระต่อกัน

                                        ตัวอย่าง  6.3     

ความน่าจะเป็นที่สามีและภรรยาคู่หนึ่งจะมีอายุถึง 80 ปี  เท่ากับ 0.8 และ 0.9 
ตามลำดับ  จงหาความน่าจะเป็นที่
 ก.  ทั้งคู่มีอายุถึง 80  ปี
 ข.  ไม่มีใครเลยอายุถึง  80  ปี
 ค.  อย่างน้อย  1  คน  มีอายุถึง 80  ปี
วิธีทำ  ให้  A  เป็นเหตุการณ์ที่สามีมีอายุถึง  80  ปี
     B  เป็นเหตุการณ์ที่ภรรยามีอายุถึง  80  ปี
     P(A)  =  0.8  ;  P(B)  =  0.9
    ก.  P(AÇB)     =  P(A)P(B)  =  (0.8)(0.9)  =  0.72
   ข. P(AขÇBข)  =  P(Aข)P(Bข)  =  (0.2)(0.1)  =  0.02
   ค. P(AÈB)     =  P(A) + P(B) – P(AÇB)  =  0.8 + 0.9 – 0.72  =  0.98   

   7.  กฎของความน่าจะเป็นรวม
สมมติว่าแซมเปิลสเปซ  S  ของการทดลองแบ่งได้เป็น  2  ส่วน  คือ  B1  และ  B2  ถ้า  A  เป็นเหตุการณ์หนึ่งจากการทดลองนี้  และ  A  เขียนได้เป็น
      A   =  (AÇB1)È(AÇB2)  โดยที่  (AÇB1) Ç(AÇB2)  =  f   

   ดังนั้นความน่าจะเป็นรวมคือ
                     P(A)  =  P(AÇB1) + P(AÇB2)
                =  P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2)        
 

ถ้าเขียนในรูปทั่วไปกรณีที่ S  ของการทดลอง  แบ่งได้เป็น  n  ส่วน  คือ  B1 , … , Bn  จะเขียนได้
  P(A)  =  P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…..+P(A|Bn)P(Bn)
            =   P(A|Bi)P(Bi)

                                      ตัวอย่าง  7.1  

โรงงานแห่งหนึ่งมีเครื่องจักร  3  เครื่อง  ซึ่งสามารถผลิตสินค้าได้  25% , 35%  และ  40%  ของสินค้าทั้งหมดตามลำดับ  เปอร์เซ็นต์ของสินค้าที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่  1 , 2  และ  3  จะชำรุดมีค่าเท่ากับ  1% , 2%  และ  2.5% ตามลำดับ  ถ้าเลือกสินค้ามาชิ้นหนึ่ง  จงหาความน่าจะเป็นที่สินค้าชิ้นนั้นเป็นสินค้าชำรุด 
วิธีทำ ให้  Bi  เป็นเหตุการณ์ที่สินค้าจะผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่  i  (i  =  1, 2, 3)  และ  A  เป็นเหตุการณ์ที่เลือกได้สินค้าชำรุด
 P(B1)  =  .25  P(B2)  =  .35  P(B3)  = 0.4
 P(A|B1)  =  0.01  P(A|B2)  =  0.02 P(A|B3)  =  .025
 P(สินค้าชิ้นนั้นเป็นสินค้าชำรุด) =  P(A)
=  P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
   =  (.01)(.25) + (.02)(.35) + (.025)(.40)
   =  .0195  
    
  

2.10 Next

PS.  body {cursor: url(https://www.graphicsarcade.com/holidays/christmas/cursors/christmas_cursors_12.cur); }

ชื่อผู้ใช้งาน

อีเมลล์

รหัสผ่าน

Your password must be at least 6 characters long.To make your password stronger,use upper and lower case letters,numbers,and the following [email protected]#$%^&amp;*()

ยอมรับข้อกำหนดและเงื่อนไข